Konstanta Waktu Dan Rumus Rangkaian RC


Konstanta Waktu Dan Rumus Rangkaian RC – Seperti yang diketahui bahwa semua setiap rangkaian elektronika ataupun listrik sudah pasti mengalami masalah “penundaan waktu” atau “time delay” antara input dengan output. Penundaan waktu atau time delay ini biasa disebut dengan  istilah “konstanta waktu rangkaian”. Sedangkan dalam bahasa inggris, konstanta waktu dapat diartikan sebagai “time constant”.

Pada umumnya, konstanta waktu rangkaian akan dipengaruhi oleh berbagai komponen reaktif seperti kapasitor yang ada di dalamnya. Satuan pengukuran konstanta waktu yang digunakan dalam rangkaian elektronika maupun listrik yaitu “Tau” yang dilambangkan dengan simbol “t”. Ada banyak sekali rangkaian elektronika yang menggunakan konstanta waktu dengan tujuan untuk dapat memberikan penundaan waktu maupun perenggangan waktu dalam sinyal yang tertentu.



Namun untuk salah satu rangkaian konstanta waktu yang paling umum dijumpai adalah konstanta waktu yang menggunakan kapasitor dan resistor atau yang lebih dikenal dengan sebutan rangkaian RC (resistor capacitor). Perlu diketahui bahwa kapasitor merupakan sebuah komponen yang menyimpan muatan listrik sehingga akan membutuhkan banyak waktu untuk melakukan penyimpanan serta pembuangan muatan listrik.

Berdasarkan prinsipnya, sebuah rangkaian RC yang mendapat tegangan DC biasanya akan membutuhkan waktu untuk mengisi muatan listrik dalam komponen kapasitor sampai bisa penuh. Begitu halnya ketika tegangan DC tersebut mulai dilepas, maka kapasitor yang terkait membutuhkan beberapa waktu untuk digunakan dalam mengosongkan isi muatan listriknya. Dengan menggunakan prinsip yang terbilang sederhana ini, maka untuk proses penundaan waktu (delay time) bisa dilakukan oleh suatu rangkaian RC.

Baca juga: Rangkaian Resistor Seri Dan Paralel

Rumus Menghitung Konstanta Waktu Rangkaian RC

Sesuai dengan prinsip yang telah kami sebutkan diatas, maka secara matematis konstanta waktu suatu rangkaian RC bisa dirumuskan sebagai berikut ini:

τ = R x C

Keterangan:



τ  adalah konstanta waktu dalam satuan detik (s)

R adalah resistansi atau hambatan dalam ohm (Ω)

C adalah kapasitansi dalam Farad (F)

Rangkaian RC

Sesuai dengan gambar di atas, jika nilai resistansi (R) kecil maka arus dapat dipastikan akan mudah mengalir. Sehingga hal ini akan membuat proses pengisian muatan listrik dalam komponen kapasitor juga menjadi semakin cepat. Demikian pula sebaliknya, jika nilai resistansinya semakin besar maka akan semakin lambat pula waktu pengisiannya.

  1. Rangkaian Pengisian RC (Resistor-Kapasitor)

Sebuah rangkaian RC sederhan terdiri dari satu resistor, satu kapasitor, satu sumber tegangan DC, satu buah saklar bisa ditunjukkan seperti gambar berikut ini:



Apabila saklar diarahkan pada posisi 1 maka akan mengalir arus i(t) mengisi kapasitor C dan dalam kondisi seperti ini maka bisa ditulis persamaan berikut ini:

V_{S}=V_{{R}}+V_{{C}}

V_{{s}}=iR+\frac{Q}{C}

V_{{s}}=\frac{dQ}{dt}}}R+\frac{Q}{C}



\frac{dQ}{dt}}}R=V_{{s}}-\frac{Q}{C}

\frac{dQ}{dt}= \frac{1}{R}(V_{{s}}-\frac{Q}{C}) (persamaan 1)

Persamaan 1 bisa diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Tahap yang pertama adalah memisahkan berbagai notasi yang berkaitan dengan varibel muatan listrik (Q dan dQ ) terhadap notasi yang berkaitan dengan variabel waktu (dt). Dalam kasus ini, notasi Q dan dQ berada di ruas kiri dan untuk dt berada di ruas kanan persamaan. Sehingga persamaan 1 bisa diubah kembali bentuknya menjadi persamaan 2 sebagai berikut ini.

\frac{dQ}{(V_{{s}}-\frac{Q}{C})}= \frac{1}{R}dt</p><br /><br /><br /> <p> (persamaan 2) 

Apabila ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan –C, maka  bentuk persamaan 2 bisa diubah kembali menjadi:

\frac{dQ}{Q-CV_{{s}}}=- \frac{1}{RC}dt</p><br /><br /><br /> <p> (persamaan 3)

Pengintegralan ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan diatas akan menghasilkan persamaan sebagai berikut ini:

\int_{0}^{Q(t)} \frac{dQ}{Q-CV_{{s}}}=- \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}dt<br /><br /><br />  (persamaan 4)

Menurut rumus integral, diketahui bahwa \int_{}^{} \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}ln\left \| ax+b \right \| , sehingga persamaan tersebut bisa ubah menjadi:

ln\left \| Q-CV_{s} \right \||_{0}^{Q(t)}=-\frac{t}{RC}\

ln\left \{Q(t)-CV_{s} \right \}-ln\left \{ Q(0)-CV_{s} \right \}=- \frac{t}{RC}

ln\left \{ Q(t)-CV_{s} \right \}-ln(-CV_{s})=- \frac{t}{RC}

<br /><br /><br /> ln(\frac{Q(t)-CV_{s} }{{-CV_{s} }})=- \frac{t}{RC}</p><br /><br /> <p>

Diketahui bahwa  e ^{ln(x)}=x, sehingga jika ruas kiri dan kanan dari persamaan tersebut menjadi pangkat dari e, maka akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

e^{ln(\frac{Q(t)-CV_{s} }{{-CV_{s} }})}=e ^{-\frac{t}{RC}}

\frac{Q(t)-CV_{s} }{{-CV_{s} }}}=e ^{-\frac{t}{RC}}

Q(t)=-CV_{s} e ^{-\frac{t}{RC}}+CV_{s}

Q(t)=CV_{s}(1- e ^{-\frac{t}{RC}})   (persamaan 5)

Jika muatan listrik yang telah mengisi kapasitor mencapai Q(t)=CV_{{c}}(t) , maka tegangan kapasitor bisa didapatkan dengan cara melakukan subtitusi persamaan sebagai berikut ke dalam persamaan 5 sehingga akan didapat persamaan:

CV_{c}(t)=CV_{s}(1- e ^{-\frac{t}{RC}})

Screen Shot 2018-10-03 at 10.06.12 PM(persamaan 6)  

Pada persamaan 6 di atas menunjukkan besarnya tegangan kapasitor merupakan waktu t, dan untuk persamaan arus yang telah mengisi kapasitor bisa diturunkan dari persamaan sebelumnya. Karena besarnya arus dalam proses pengisian kapasitor diartikan sebagai besar muatan per satuan waktu, maka persamaan arus bisa didapatkan dengan cara menurunkan fungsi Q (t) pada persamaan 5 terhadap waktu (50. Sehingga persamaan arus dalam pengisian kapasitor bisa dituliskan seperti berikut:

i(t)=\frac{dQ(t)}{dt}=\frac{d}{dt}CV_{s}(1- e ^{-\frac{t}{RC}})

i(t)=\frac{d}{dt}CV_{s}-CV_{s}\frac{d}{dt} e ^{-\frac{t}{RC}}

Sesuai dengan rumus diferensial, diketahui bahwa  \frac{d}{dx} e^{u}= e^{u}\frac{du}{dx}, sehingga persamaannya bisa diubah kembali sebagai berikut:

i(t)=0-(CV_{s})(e ^{-\frac{t}{RC}}) </p><br /> <p>(-\frac{1}{{RC}})

Screen Shot 2018-09-30 at 10.15.14 AM(persamaan 7)

Keterangan yang digunakan untuk setiap notasi pada persamaan 6 dan persamaan 7 di atas adalah sebagai berikut:

Vc(t) adalah tegangan pada kapasitor (V)

i(t) adalah arus yang mengalir pada kapasitor setiap saat (A)

Vs adalah tegangan sumber (V)

e adalah bilangan natural=2,72

RC adalah Konstanta Waktu (time constant) dalam satuan detik (s)

Seperti yang disinggung sebelumnya bahwa konstanta waktu dilambangkan dengan simbol  (tau), sehingga:

Screen Shot 2018-09-30 at 10.28.17 AM(persamaan 8),

Dengan R dalam ohm sedangkan C dalam farad. Sebagai contoh, jika misalnya R=10K\Omega= 10^{4}K\Omega  dan C=0,1\mu F= 10^{-7}F, maka \tau=RC= 10^{-3}detik=1ms.

Pada persamaan 6 dan persamaan 7 di atas telah menunjukkan besarnya tegangan serta arus kapasitor selama komponen ini sedang melakukan pengisian muatan. Jika kedua persamaan ini dimasukkan nilai-nilai variabel t untuk  R=10K\Omega dan C=0,1\mu F  maka bisa menghasilkan nilai-nilai tegangan dan arus kapasitor seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Kemudian, jika dilakukan plotting antara Vc versus t akan didapat kurva pengisian kapasitor seperti pada gambar berikut ini.



Leave a Comment